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페르마의 마지막 정리를 읽고나서(4)

페르마의 마지막 정리를 읽고나서(4)

페르마의 마지막 정리를 읽고나서

몇 년 전에 한 번 읽었던 책을 다시 읽었다. 첫 번과 마찬가지로 이번에도 중간에 손을 놓을 수가 없어서 끝까지 독파하게 되었다. 쌓아놓은 책들도 많이 있는데 이 책을 다시 짚게 된 것은 이제 고 1 올라가는 아들 공부때문이었다.

과외도 학원도 안 보내는데 본인이 알아서 하는 것도 아니라서 부모로서 걱정은 되고 해서 수학을 봐 줄까 하고 제안했더니 좋다고 해서 토요일마다 내가 가르치기로 했다. 고등학교 수학 정도는 어느 정도 자신이 있지만 교수법에 대한 연구는 전무한지라 관련 책들을 보고 싶어졌다. 그러다가 이 책이 눈에 띄었고 다시 읽게 되었다. 책 내용은 350년 전에 페르마라는 사람이 낸 수학증명 문제 하나가 350년 동안이나 수학자들을 좌절에 빠뜨리고 있다가 1994년에 앤드루 와일즈라는 영국 수학자가 그 문제를 해결하는 내용이다. 재미없을 것 같은 내용을 드라마틱하게, 흥미진진하게 만든 것은 글쓴이의 참으로 대단한 능력이다.

먼저 페르마의 마지막 정리가 무엇인지는 소개해야겠다.

그 유명한 피타고라스의 정리는 직각삼각형 빗변의 제곱값은 나머지 변의 제곱값의 합이라는 것이다. 이것을 수식으로 표현하면 다음과 같다.

x^2 + y^2 = z^2이다. 이 수식을 정수값을 가지고 생각하면 이 수식을 만족하는 정수쌍은 무한히 존재한다. 페르마는 이에 착안해서 제곱이 아니라 세제곱, 네제곱, 그 이상의 제곱으로 확장해서 생각해 보았다. 그리고 다음과 같은 결론을 내렸다.

x^n + y^n = z^n

n이 3 이상의 정수일 때, 이 방정식을 만족하는

정수해 x, y, z는 존재하지 않는다.

이것이 페르마의 마지막 정리이다. 페르마가 남긴 많은 정리들 중 1994년 이전까지 증명되지 않았던 정리이기 때문에 마지막 정리라는 이름이 붙었다. 그리고 페르마는 불친절하게도 이런 메모를 남겼다.

'나는 경이적인 방법으로 이 정리를 증명했다. 그러나 여백이 너무 좁아 여기에 옮기지는 않겠다.'

이 메모 때문에 수많은 수학자들이 좌절을 경험했다. 페르마가 본격적으로 수학공부를 하게 된 것은 그리스 시대에 디오판토스가 쓴 아리스메티카라는 책을 통해서였다. 이 책이 페르마에게 전달되기까지의 과정은 험난하고 극적이다. 알렉산드리아 도서관이 만들어지고 각 나라의 책들이 수집되어 보관, 전수되어 왔는데 전쟁의 와중에 종교적 광기와 무식에 의해 코란 이외의 책들은 모두 폐기하라는 명령에 따라 수많은 책들이 사라지고 책들을 지키려는 이름 없는 이들의 필사의 노력에 의해 다행히 목숨을 부지한 책 중의 하나가 아리스메티티카였다.

페르마는 이 책을 읽으며 고대의 수학을 완전히 제 것으로 소화하고, 그 책에 여러 가지 정리를 메모형태로 끄적거렸는데, 페르마의 마지막 정리 역시 그 책의 여백에 기술된 짧은 구절이었다. 페르마는 불친절하고 괴퍅한 성격이라 증명과정은 공개하지 않은 채 다른 수학자들에게 너도 풀어봐라 하는 식으로 약올렸다 한다. 페르마의 마지막 정리도 그 중의 하나였던 것이다. 페르마에게 아리스메티카가 전달되기까지의 과정으로 피타고라스부터 시작해서 수학의 역사에 대해서 기술하고 유클리드의 기하학, 알렉산드리아 도서관의 부흥과 수난 이야기들을 전해 준다. 페르마 이후에 이 정리가 정복되는 과정이 기술된다.

이 과정을 보면 비록 앤드루 와일즈가 이 정리를 최후에 증명했지만 결코 그 혼자 힘으로는 이룰 수 없었음을 알 수 있다.

n=4인 경우는 페르마 자신의 또 다른 메모가 발견되어 증명이 되었고

n=3인 경우는 오일러가 허수라는 수를 도입하여 해결한다.

그리고 소피 제르맹의 2p+1 역시 소수가 되는 특수한 소수 p에 대한 발상,

르장드르와 디리클레가 제르맹의 착안에 의거하여 n=5인 경우 해결.

그리고 가브리엘 라메가가 n=7일 때 증명하여 한 발 한 발 나아가는 것 같았으나

쿰머가 n이 불규칙 소수일 때의 어려움을 지적하면서 이 문제는 무한대와의 싸움으로 변하는 듯 했다.

이 즈음에 이 문제는 다시 100여년 간 미궁에 빠질 듯 했으나 해결의 실마리는 전혀 다른 곳에서 마련되고 있었다.

1950년대 패전의 암울한 환경의 일본에서 학문에 몰입한 타니야마와 사무라라고 하는 일본 수학자 2명에 의해 타원방정식과 모듈방정식이 서로 대응되는 체계라는 가설이 세워졌고 이 문제가 페르마의 마지막 정리의 열쇠라는 것이 게르하르트 프레이에 의해 간파되면서 비로소 해결의 실마리가 등장한 것이었다.

실마리가 등장했다고 해서 증명이 쉬운 것은 아니어서 그러고도 몇 십 년간 수많은 학자들의 한숨과 좌절이 거름이 되고, 그 위에 켄 리벳과 갈루아 등의 많은 통찰과 아이디어가 결합이 돼서 앤드루 와일즈의 집념으로 결국 결실을 맺는 과정이 감동적으로 펼쳐진다. 수학 자체의 내용은 너무 어려워서 알 수가 없다. 책도 그 부분은 일반적인 설명으로 넘어가고 있다. 이 책이 수학에 관한 책임에도 불구하고 단숨에 읽히는 것은 이 책이 많은 이야기를 담고 있기 때문이다.

생각나는 대로 꼽으면, 신비의 철학 집단 피타고라스 이야기.

알렉산드리아 도서관이 만들어지고, 수난받는 이야기.

정치와 야합한 종교의 광기가 몰상식하게 도서관과 책을 손상시키고 학자들을 탄압하고 죽이는 이야기.

괴퍅한 삶을 살았던 아마츄어 수학의 왕자 페르마의 이야기.

여성이기 때문에 수학자로서 평가 절하 당하고, 과소평가받는 답답함. 자살 전날 쿰머의 논문을 읽다가 오류를 발견하면서 자살을 취소하고 페르마의 마지막 정리에 대해 전 재산을 걸어 상금을 거는 볼프스켈의 이야기. 멍청한 천재의 전형성을 보여주면서, 알 수 없는 이유로 한창 젊은 나이에 자살로 삶을 마감하는 일본의 유타카 타니야마 이야기. 친구의 죽음에 친구와의 공동연구를 인생의 과제로 삼아 연구를 계속해 나아가는 사무라 이야기.

프랑스 혁명 이후의 혼란한 시기에 극렬 공화주의자로서 시대와 불화를 겪다가 20살의 젊은 나이에 결투에 의해 삶을 마감하는 수학천재 갈루아 이야기(권력에 의한 음모살해인지 단순한 치정으로 인한 결투인지 아직도 의견이 분분하다 한다).

뛰어난 수학자로서 2차 세계대전에 독일군과의 암호

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